完美長方體問題
Perfect Cuboid Problem

對 $\mathbb{P}^n$ 中一個光滑完全交 $V=\bigcap_i\{f_i=0\}$（$\deg f_i=d_i$），adjunction 公式給

$$K_V=\Bigl(K_{\mathbb{P}^n}+\textstyle\sum_i \mathcal{O}(d_i)\Bigr)\Big|_V.$$

這裡 $n=6$，$K_{\mathbb{P}^6}=\mathcal{O}(-7)$，四式皆 $d_i=2$，故

$$K_V=\bigl(-7+4\cdot 2\bigr)\mathcal{O}(1)\big|_V=(-7+8)\,\mathcal{O}_V(1)=\mathcal{O}_V(1).$$

$\mathcal{O}_V(1)$ 是超平面束的限制，為 ample（在射影空間裡正）。$K_V$ ample 即 Kodaira dimension $=2$，故 $V$ 是 general type 且極小；general type 曲面 $K\neq 0$，而 K3 曲面 $K=0$，因此 $V$ 不是 K3。

因 $K_V=\mathcal{O}_V(1)=H|_V$（$H$ 為 $\mathbb{P}^6$ 超平面類），$K_V^2$ 就是 $V$ 在 $\mathbb{P}^6$ 中的 degree。完全交的 degree 是各方程次數之積：

$$\deg V=\prod_i d_i=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^4=16,\qquad\text{故}\quad K_V^2=H^2\cdot V=16.$$

由 Whitney 公式，$V$ 的全 Chern 類是環境 $\mathbb{P}^6$ 與法叢的商，模 $H^3$（曲面只看到 $H^0,H^1,H^2$）：

$$c(T_V)\equiv (1+H)^7(1+2H)^{-4}\equiv 1-H+5H^2\pmod{H^3}.$$

故 $c_1=-H$（即 $-K_V$，一致），而 $c_2$ 的係數是 $5$，乘上 degree $16$：

$$c_2(V)=5\cdot H^2\cdot V=5\cdot 16=80.$$

Noether 公式 $\chi(\mathcal{O}_V)=\dfrac{K_V^2+c_2}{12}$ 給

$$\chi(\mathcal{O}_V)=\frac{16+80}{12}=\frac{96}{12}=8.$$

Lefschetz 超平面定理對 $\mathbb{P}^6$ 中維度 $\ge 2$ 的完全交給 $H^1(V,\mathcal{O}_V)=H^1(\mathbb{P}^6,\mathcal{O})=0$，故不規則數 $q=h^1(\mathcal{O}_V)=0$。由 $\chi(\mathcal{O}_V)=1-q+p_g$：

$$p_g=\chi-1+q=8-1+0=7.$$

整理：$K_V=\mathcal{O}_V(1)$ ample、$K_V^2=16$、$c_2=80$、$\chi=8$、$p_g=7$、$q=0$。ample 典範類確立 general type。

把 $E_q$ 展開為 $y^2=x^3+(1+q^2)x^2+q^2x$，右側在 $\mathbb{Q}$ 上分解為 $x(x+1)(x+q^2)$。三根 $x\in\{0,-1,-q^2\}$ 各給一個 $y=0$ 的點，故

$$T_1=(0,0),\quad T_2=(-1,0),\quad T_3=(-q^2,0)$$

是三個有理 $2$-torsion 點，連同 $O$ 構成 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2\subseteq E_q(\mathbb{Q})$（只要 $q\notin\{0,\pm1\}$，三根相異、曲線非奇異）。

在 $\varphi(X,Y)=\dfrac{2Yq}{q^2-X^2}$ 中，三點皆 $Y=0$，故分子 $2Yq=0$；分母分別為 $q^2,\ q^2-1,\ q^2-q^4=q^2(1-q^2)$，在 $q\notin\{0,\pm1\}$ 時皆非零。因此 $\varphi(T_i)=0$——對應盒子的一條邊為 $0$，退化。

直接代入 $Y^2=X(X+1)(X+q^2)$：

$$X=q:\quad Y^2=q(q+1)(q+q^2)=q^2(q+1)^2\ \Rightarrow\ Y=\pm q(q+1),$$

$$X=-q:\quad Y^2=(-q)(1-q)\,q(q-1)=q^2(q-1)^2\ \Rightarrow\ Y=\pm q(q-1).$$

故 $(\pm q,\ \pm q(q\pm1))$ 是 $E_q$ 上四個有理點。它們階為 $4$，由 duplication 驗證：對 $P=(q,q(q+1))$，斜率

$$\lambda=\frac{3X^2+2(1+q^2)X+q^2}{2Y}=\frac{2q(q+1)^2}{2q(q+1)}=q+1,$$

$$X(2P)=\lambda^2-(1+q^2)-2q=(q+1)^2-1-q^2-2q=0,$$

$$Y(2P)=\lambda\,(X-X(2P))-Y=(q+1)q-q(q+1)=0,$$

即 $2P=(0,0)=T_1$。故 $P$ 的兩倍是非平凡 $2$-torsion，$P$ 的階恰為 $4$。四點同理（符號對換）。這給 $\mathbb{Z}/4\times\mathbb{Z}/2\subseteq E_q(\mathbb{Q})_{\text{tors}}$，是 $\mathbb{Q}(q)$ 上的恆等式。

在 $\varphi$ 中四點皆 $X^2=q^2$，分母 $q^2-X^2=0$，而分子 $2Yq=\pm 2q^2(q\pm1)\neq0$（$q\notin\{0,\pm1\}$）。故 $\varphi(P)=\infty$——落在 $\varphi$ 的極點（盒子的邊「跑到無窮」，即退化邊界 stratum）。

由 Mazur，含 $\mathbb{Z}/4\times\mathbb{Z}/2$（階 $8$）的有理 torsion 只能是 $\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/4$、$\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/6$ 或 $\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/8$。$\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/6$ 階 $12$，$8\nmid 12$ 由 Lagrange 排除；只剩排除 order-$8$ 點。

一個 order-$8$ 點 $P$ 的 $2P$ 為 order-$4$，故 $X(2P)\in\{q,-q\}$。把 duplication 公式代入並清分母，$X(2P)=q$ 等價於

$$G_1(X,q):=X^4-4qX^3-(4q^3+2q^2+4q)X^2-4q^3X+q^4=0$$

（$X(2P)=-q$ 對應 $G_2=G_1(X,-q)$）。因 $G_1(0,q)=q^4\neq0$，任何有理根可寫 $X=qZ$。代入後除以 $q^3$ 得關於 $q$ 的二次式

$$4Z^2\,q^2-(Z^4-4Z^3-2Z^2-4Z+1)\,q+4Z^2=0.$$

$q$ 有理 $\iff$ 其判別式為平方。該判別式恰好分解（PARI factor 確認）：

$$\Delta(Z)=(Z^4-4Z^3-2Z^2-4Z+1)^2-64Z^4=(Z-1)^4(Z+1)^2(Z^2-6Z+1).$$

前兩因子已是平方 $\bigl((Z-1)^2(Z+1)\bigr)^2$，故 $\Delta\in\mathbb{Q}^2\iff Z^2-6Z+1=w^2$。此圓錐曲線有有理點 $(0,1)$，過它的直線參數化後代回，化簡得

$$q=s^2\quad\text{或}\quad q=1/s^2,\qquad s=\frac{4(t+1)}{(t-1)(t+3)}.$$

兩支都迫使 $q$（或 $1/q$）是有理平方。再加 Pythagorean 條件 $1+q^2\in\mathbb{Q}^2$，當 $q=s^2$ 時即 $u^2=s^4+1$——這正是 Fermat 直角三角形定理所禁的方程。

把 $u^2=s^4+1$ 寫成橢圓曲線 $y^2=x^3+4x$（Cremona 32a1，conductor $32$）。PARI 給 analytic rank $0$、torsion $\mathbb{Z}/4$，由 Kolyvagin 得 Mordell–Weil rank $0$，故全部有理點都是 torsion，皆對應 $s=0$。於是 $s^4+1=u^2$ 只有 $s=0$，回推 $q\in\{0,\infty\}$——被假設 $q\in\mathbb{Q}^\times\setminus\{0,\pm1\}$ 排除。故 order-$8$ 永不出現，torsion 恰為 $\mathbb{Z}/4\times\mathbb{Z}/2$。

合併 (i)–(iii)：八個 torsion 點裡，恆等元 $O$ 對應退化的 $c=0$ 分支；三個 $2$-torsion 點分子 $2Yq=0\Rightarrow\varphi=0$；四個 order-$4$ 點 $X^2=q^2\Rightarrow$ 分母 $0\Rightarrow\varphi=\infty$（極點）。故

$$\varphi\bigl(E_q(\mathbb{Q})_{\text{tors}}\bigr)\subseteq\{0,\infty\}.$$

$0$ 與 $\infty$ 都是退化值（某條邊為 $0$ 或跑到無窮），不是非退化有限有理盒子。因此凡 $\varphi(P)$ 有限且非零的點——能還原成真盒子邊的點——必為無限階。

結論：搜尋只需在無限階部分進行。當 $E_q$ rank $\ge1$ 時，每個有理點是 $a_1P_1+\cdots+a_rP_r+T$（$T$ 為 torsion），於是條件落到一個格點上逐一檢驗；torsion 整層可直接略過。

已驗證（PARI/GP）：$62$ 個 Pythagorean $q$ × $8$ torsion 點 $=496$ 次評值，elltors 恆回 $\mathbb{Z}/4\times\mathbb{Z}/2$，$\varphi$ 全落 $\{0,\infty\}$；判別式分解、32a1 rank $0$ 皆符

代入通用 Pythagorean 參數化 $(u,v,w)=(p^2-q^2,\,2pq,\,p^2+q^2)$，兩邊都成 $\mathbb{Z}[p,q]$ 中的多項式。$a=u(4v^2-w^2)$、$b=v(4u^2-w^2)$、$c=4uvw$，直接展開計算其差

$$\bigl(a^2+b^2+c^2\bigr)-w^2\bigl(w^4+16u^2v^2\bigr)$$

在 $\mathbb{Z}[p,q]$ 中恆為 $0$（script 01, Step 1）。每個本原 Pythagorean 三元組都來自某 $(p,q)$（至多差符號），且兩邊在約束 $u^2+v^2=w^2$ 下都是 $(u,v,w)$ 的多項式，故恆等式對所有 Pythagorean $(u,v,w)$ 成立。

此八次式係數回文（$1,0,68,0,-122,0,68,0,1$），故除以 $t^4$ 得對稱型

$$\frac{t^8+68t^6-122t^4+68t^2+1}{t^4}=t^4+t^{-4}+68(t^2+t^{-2})-122.$$

用 $W=t+1/t$：則 $t^2+t^{-2}=W^2-2$、$t^4+t^{-4}=(W^2-2)^2-2=W^4-4W^2+2$。代入：

$$\bigl(W^4-4W^2+2\bigr)+68\bigl(W^2-2\bigr)-122=W^4+64W^2-256.$$

（PARI 確認差恆為 $0$。）兩邊 $T^2$ 同除 $t^4$，設 $S=T/t^2$ 得

$$C'_{\mathrm{pal}}:\quad S^2=W^4+64W^2-256.$$

$C'_{\mathrm{pal}}$ 的 Jacobian 是 $E_{\mathrm{PCP}}:y^2=x^3+x^2-x+15$，conductor $160$、$j=-64/25$、torsion $\mathbb{Z}/2$、rank $1$、生成元 $(-1,4)$（analytic rank $1$ + Kolyvagin 使其無條件）。rank $1$ 尚不足以強制有理點有限——必須再加一個約束。

真正降階的是 $t$ 可逆性帶來的提升條件。對 $t\in\mathbb{Q}^\times$、$W=t+1/t$ 恆有

$$W^2-4=\bigl(t+1/t\bigr)^2-4=\bigl(t-1/t\bigr)^2.$$

反之若 $W,T_0\in\mathbb{Q}$ 滿足 $W^2-4=T_0^2$，取 $t=(W+T_0)/2$，則 $t\cdot\frac{W-T_0}{2}=\frac{W^2-T_0^2}{4}=1$，故 $1/t=(W-T_0)/2$，$t+1/t=W$、$t-1/t=T_0$。因此「有理點來自有理 $t$」$\iff$ $W^2-4$ 是有理平方。設 $T_0=t-1/t$，代 $W^2=T_0^2+4$ 進 $S^2=(W^2)^2+64W^2-256$：

$$S^2=(T_0^2+4)^2+64(T_0^2+4)-256=T_0^4+72T_0^2+16,$$

落到單一 genus-1 曲線

$$C_0:\quad S^2=T_0^4+72T_0^2+16.$$

這一步把 rank-$1$ 的 $C'_{\mathrm{pal}}$ 壓到 rank-$0$ 的 $C_0$，繞過了 Chabauty；非退化盒子要求 $t\notin\{0,\pm1,\infty\}$，故 $T_0=t-1/t$ 是非零有限有理數。

(a) $2$-descent。 $E_0$ 有完整有理 $2$-torsion，可做 full $2$-descent。PARI 的 ellrank 回緊區間 $[0,0]$；$2$-descent 是無條件演算法，下界 $0$ 顯然、上界 $0$ 來自 $2$-Selmer 群恰由 torsion 貢獻（無額外 Selmer 類提升為有理點），故 $\mathrm{rank}\,E_0(\mathbb{Q})=0$，無需任何猜想。

(b) Kolyvagin。 獨立地，$E_0$ analytic rank $0$，$L(E_0,1)\approx1.0095\neq0$；由 Kolyvagin 定理，$L(E,1)\neq0\Rightarrow$ 代數 rank $0$。兩條路徑一致，且 conductor、torsion、rank 全符 Cremona 表 80a1。

$C_0$ 有有理點 $(0,4)$，故是帶有理點的光滑 genus-$1$ 曲線，$\mathbb{Q}$-同構於其 Jacobian $E_0$，於是 $|C_0(\mathbb{Q})|=|E_0(\mathbb{Q})|=4$。逐一找出這四點：

$$C_0(\mathbb{Q})=\{(0,4),\,(0,-4),\,\infty_+,\,\infty_-\}.$$

• 領導係數 $T_0^4$ 的係數 $1=1^2$ 是平方，故兩個無窮遠點 $\infty_\pm$（$S/T_0^2\to\pm1$）有理，對應 $T_0=\infty$。
• 仿射點：在 $|n|,d\le 2000$（$T_0=n/d$ 最簡）窮舉，唯一使 $T_0^4+72T_0^2+16$ 為平方的是 $T_0=0$，給 $(0,\pm4)$；PARI hyperellratpoints（搜尋界 $10^4$）獨立回傳相同的仿射點 $[0,\pm4]$。

四點都 $T_0\in\{0,\infty\}$。退化對照（degeneracy bookkeeping）：

• $T_0=0\Rightarrow t^2=1\Rightarrow t=\pm1\Rightarrow p=\pm q\Rightarrow u=p^2-q^2=0$，邊 $a=u(4v^2-w^2)=0$。
• $T_0=\infty\Rightarrow W=t+1/t=\infty\Rightarrow t\in\{0,\infty\}\Rightarrow p=0$ 或 $q=0\Rightarrow v=2pq=0$，邊 $b=v(4u^2-w^2)=0$ 且 $c=4uvw=0$。

全部退化。一個非退化 Saunderson 給的 $T_0$ 是非零有限有理數，永遠不落在這四點集——矛盾。故 Saunderson 整族無完美長方體，且此為無條件結果（建立在 Cremona 表四十年前的一筆紀錄上，不靠任何猜想）。

以 $a=4q$、$b=q^2-4$、$c=2(q^2-1)$ 代入：

$$a^2+b^2=16q^2+(q^2-4)^2=16q^2+q^4-8q^2+16=q^4+8q^2+16=(q^2+4)^2.$$

$$a^2+c^2=16q^2+4(q^2-1)^2=16q^2+4q^4-8q^2+4=4q^4+8q^2+4=\bigl(2(q^2+1)\bigr)^2.$$

$$b^2+c^2=(q^2-4)^2+4(q^2-1)^2=(q^4-8q^2+16)+(4q^4-8q^2+4)=5q^4-16q^2+20.$$

$$a^2+b^2+c^2=(q^2+4)^2+4(q^2-1)^2=(q^4+8q^2+16)+(4q^4-8q^2+4)=5q^4+20.$$

（四式皆為 $\mathbb{Z}[q]$ 恆等式，PARI 確認差為 $0$。）

基本解 $(g,Y)=(5,1)$（$25-5=20$）。乘以 $\mathbb{Z}\!\left[\tfrac{1+\sqrt5}{2}\right]$ 的全正範數-$1$ 單位 $\tfrac{3+\sqrt5}{2}$，把解送到解，產生遞迴

$$g_{n+1}=3g_n-g_{n-1},\qquad Y_{n+1}=3Y_n-Y_{n-1},$$

初值 $(g_1,Y_1)=(5,1)$、$(g_2,Y_2)=(10,4)$。$Y_n$ 的前十項是

$$1,\ 4,\ 11,\ 29,\ 76,\ 199,\ 521,\ 1364,\ 3571,\ 9349.$$

由 $g^2=5Y^2+20$ 知 $5\mid g^2$，故 $5\mid g$。（且 $5\nmid Y$：若 $5\mid Y$ 則 $25\mid 5Y^2$，$g^2\equiv20\pmod{25}$，但 $20$ 非模 $25$ 的平方，矛盾。）寫 $g=5h$，代入得 $25h^2-5Y^2=20$，即

$$Y^2-5h^2=-4.$$

此負 Pell 方程的正解經典已知恰為 $(Y,h)=(L_{2n-1},F_{2n-1})$（$n\ge1$），源於 Lucas/Fibonacci 恆等式 $L_m^2-5F_m^2=4(-1)^m$；當 $m$ 奇時右側為 $-4$。前幾項驗證：$(Y,h)=(1,1),(4,2),(11,5)$ 各滿足 $1-5=-4$、$16-20=-4$、$121-125=-4$。故每個非負解都有 $Y=L_{2n-1}$，且 $h=F_{2n-1}$、$g=5F_{2n-1}$，恰是上面那一條軌道。

$f_1=5q^4-16q^2+20$、$f_2=5q^4+20$ 互質（$\operatorname{res}(f_1,f_2)=2^{20}5^4\neq0$）且各自可分（$\operatorname{disc}(f_1)=33177600$、$\operatorname{disc}(f_2)=256000000$ 皆非零），都無有理根。覆蓋 $C\to\mathbb{P}^1_q$ 次數 $4$（兩個雙重覆蓋的纖維積）。在 $f_1$ 的四根上 $e$-覆蓋分歧、$g$-覆蓋不分歧，貢獻分歧度 $2$；對 $f_2$ 的四根對稱；$q=\infty$ 處不分歧。Riemann–Hurwitz：

$$2g(C)-2=4(2\cdot0-2)+16=8\ \Rightarrow\ g(C)=5.$$

無窮遠：在 $q=1/s$ 圖卡，$E=es^2,G=gs^2$，方程成 $E^2=5-16s^2+20s^4$、$G^2=5+20s^4$，$s=0$ 時 $E^2=G^2=5$；因 $5$ 非有理平方，四個無窮遠點定義在 $\mathbb{Q}(\sqrt5)$ 上，故皆非有理。$C(\mathbb{Q})$ 全在仿射部分。

$C$ 帶對合群 $(\mathbb{Z}/2)^3=\langle\sigma_e:e\mapsto-e,\ \sigma_g:g\mapsto-g,\ \sigma_q:q\mapsto-q\rangle$，Jacobian 分解為

$$\mathrm{Jac}(C)\sim_{\mathbb{Q}}\ E_1\times E_2\times E_3\times X_+^{(5)}\times X_-^{(5)}.$$

• 軸商 $E_1,E_2$： $C/\langle\sigma_g\rangle:e^2=f_1$ 極小化得 $y^2=x^3-39312x+2889216$（$j=48228544/2025$，conductor $480$）$=$ 480f1；$C/\langle\sigma_e\rangle:g^2=f_2$ 得 $y^2=x^3-32400x$（$j=1728$、CM by $\mathbb{Z}[i]$、conductor $800$）$=$ 800a1。
• $\sigma_q$ 商之因子 $E_3$： $y^2=x^3-x^2-108x-288$ $=$ 1200a2。
• 剩兩因子 $X_\pm^{(5)}$： 承載 $(-1,-1,-1)$-特徵空間的微分 $\omega_1=dq/(eg)$、$\omega_3=q^2dq/(eg)$，是 rank-$0$ 曲線 $X_+=$ 120a2、$X_-=$ 80a1 的 $\mathbb{Q}(\sqrt5)$-quadratic twist，Cremona 標籤 600a2、400a2。

識別依據：對 $C$ 的光滑模型數 $\mathbb{F}_p$-點，$a_p(C)=p+1-\#C(\mathbb{F}_p)$ 在 $[7,150]$ 的 $32$ 個好質數上恆等於五因子 $a_p$ 之和（無例外）。若改用未 twist 的 120a2、80a1，則在每個 $\bigl(\tfrac5p\bigr)=-1$ 的質數失配，差恰為 $\bigl(\tfrac5p\bigr)$ 的符號——正是 $\mathbb{Q}(\sqrt5)$-twist 的指紋。加上 script 04、05 的顯式商構造，定出上述分解（$a_p$ 吻合為強佐證；顯式構造定錨因子）。

對五條曲線，ellrank（無條件 $2$-descent）各回緊區間 $[1,1]$ 並附無限階生成元：480f1 上 $(-48,2160)$、800a1 上 $(-144,1296)$、1200a2 上 $(-4,8)$、$X_+^{(5)}=$600a2 上 $(-16,72)$、$X_-^{(5)}=$400a2 上 $(1,24)$；各點 canonical height 非零、階無限。獨立地，五條皆 analytic rank $1$、root number $-1$，Kolyvagin 亦給代數 rank $1$。故

$$\mathrm{rank}\,\mathrm{Jac}(C)(\mathbb{Q})=1+1+1+1+1=5=\operatorname{genus}(C).$$

Chabauty–Coleman 需嚴格 $\mathrm{rank}<\operatorname{genus}$，故無法封閉 $C$——確認 Peschmann §8 所提疑慮，而非實現其期望的有效性。決定性誤判：承載 Chabauty 微分的 $(-1,-1,-1)$-特徵空間，本以為由 rank-$0$ 的 120a2（$L(1)\approx1.2695$）、80a1（$L(1)\approx1.0095$）支配——那會給 rank $3<5$、Chabauty 可用；實際卻是它們的 $\mathbb{Q}(\sqrt5)$-twist 600a2、400a2（twist 由無窮遠點的 $\sqrt5$ 所迫），而 rank 並非 quadratic twist 下的不變量，twist 把每個因子的 rank 從 $0$ 抬到 $1$。stratum 仍由上面的初等 Pell–Lucas 路線封閉，與曲線的有理點計數無關。

在 $(\mathbb{Z}/2)^3$ 的指數-$2$ 子群所給的商裡，唯一 genus-$2$ 的是 $C_q=C/H$（$H=\langle\sigma_e\sigma_g,\sigma_e\sigma_q\rangle$，不變微分 $\omega_1,\omega_3$），平面模型

$$C_q:\quad w^2=u(5u^2-16u+20)(5u^2+20),\qquad u=q^2,\ w=egq,$$

且 $\mathrm{Jac}(C_q)\sim_{\mathbb{Q}}X_+^{(5)}\times X_-^{(5)}=$600a2×400a2，故 $\mathrm{rank}\,\mathrm{Jac}(C_q)(\mathbb{Q})=2=\operatorname{genus}(C_q)$，Chabauty 對 $C_q$ 亦不適用。$C$ 有 $16$ 個可見有理點 $\{(\pm1,\pm3,\pm5),(\pm2,\pm6,\pm10)\}$（獨立符號），全在 $q\in\{\pm1,\pm2\}$，故 $b=q^2-4\in\{-3,0\}\le0$，皆退化；在 $|n|,d\le2000$ 的高度搜尋找不到其他。由 Faltings，$C(\mathbb{Q})$ 有限，但本節 rank 計算顯示這個有限性無法由 Chabauty–Coleman 在 $C$ 或 $C_q$ 上有效化；stratum 的封閉（主定理）只用整數點，由 Pell–Lucas 無條件給出，不依賴 $C(\mathbb{Q})$ 的完整決定。

對 Pythagorean 有理 $q\notin\{0,\pm1\}$，torsion 子群恆為 $E_q(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}}=\mathbb{Z}/4\times\mathbb{Z}/2$（Yoshida，由 Mazur 定理加在 $u^2=s^4+1$ 上終止的下降；elltors 回 $[4,2]$）。八個點是單位 $O$、三個 $2$-torsion $(0,0),(-1,0),(-q^2,0)$、四個四階點 $(\pm q,\pm q(q\pm1))$。逐點代入 Face-3 映射 $c$：

$$\text{三個 }2\text{-torsion}:\ \text{分子 }2yq=0,\ \text{分母 }q^2-x_i^2\in\{q^2,\,q^2-1,\,q^2(1-q^2)\}\neq0\ \Rightarrow\ c=0,$$

$$\text{四個四階點}:\ x^2=q^2\ \Rightarrow\ \text{分母 }q^2-x^2=0,\ \text{分子 }2yq=\pm2q^2(q\pm1)\neq0\ \Rightarrow\ c=\infty.$$

兩組皆是 $\mathbb{Q}(q)$ 中的恆等式。order-eight 障礙以判別式恆等式 $\Delta(Z)=(Z-1)^4(Z+1)^2(Z^2-6Z+1)$（$Z=x/q$）可見。故任何 $c(P)$ 有限非零（即解碼成有限非零邊長）的點都不是 torsion，必為無限階。Face-3 搜尋因此只需在非 torsion 軌道上做，torsion 僅以平移 $T$ 進入。

各 fiber 以 ellinit 建模、ellglobalred 讀 conductor、elltors 讀 torsion、ellrank 回緊區間 $[r,r]$（下界等上界，無 analytic-rank 或 BSD 輸入，ellrank 直接作用於模型 $E_q$ 上，無 quadratic twist 介入）。七個 fiber 的 $(q;\ \text{conductor};\ (m,n);\ \text{rank};\ \widehat h\text{ 生成元})$ 為：

$$\begin{array}{llllc} 20/21 & 4305 & (5,2) & 1\ [1,1] & 2.5530\\ 80/39 & 1902810 & (8,5) & 1\ [1,1] & 1.9728\\ 24/7 & 22134 & (4,3) & 1\ [1,1] & 2.5525\\ 84/13 & 1880151 & (7,6) & 1\ [1,1] & 7.1283\\ 48/55 & 237930 & (8,3) & 1\ [1,1] & 2.0620\\ 20/99 & 1551165 & (10,1) & 1\ [1,1] & 2.0451\\ 60/11 & 82005 & (6,5) & 2\ [2,2] & 2.2893,\,2.4941 \end{array}$$

六個 rank-$1$ 與一個 rank-$2$（$q=60/11$）。其中 $q\in\{20/21,39/80,20/99\}$ 落在 Peschmann 已證集 $S_{100}$ 之外（$39/80$ 與 $80/39$ 為同一 $E_q$），$20/21$ 即其開放 Example 5.1。

寫 $nP=(A_n/B_n^2,\,C_n/B_n^3)$ 為最簡分數；整數 $B_n$ 構成 EDS。Silverman 的定理保證 $B_n$ 對所有夠大的 $n$ 有 primitive 質因數（不整除任何更早的 $B_m$，$m

但 Face-3 障礙住在分子 $N_n=\mathrm{Num}(F_3(nP))$——它是 $E_q$ 上另一個非常數函數 $F_3$ 的值，其 divisor 支撐在 $x^2=q^2$ 連同 Face-3 的分歧處，與支配 $B_n$ 的「$2$-torsion 與單位」support 不同。腳本 an_structure.gp 把 $B_n$ 與 $N_n$ 並列計算，確認兩者作為整數數列 $N_n\neq B_n$。對 $B_n$ 的 primitive-divisor 定理，僅靠引用對 $N_n$ 無有效控制；要得到 $N_n$ 的版本，必須對函數 $F_3$ 直接界定其 divisor 的高度並重跑有效論證——本文未做此事。已知唯一閉形式的 $f(nP)$-primitive-divisor 結果（如 CM 情形 $j\in\{0,1728\}$ 的 Silverman Wieferich-criterion 分析）不涵蓋這裡的 $E_q$。

就算給定 $N_n$ 的 primitive 質因數，要 $N_n$ 非平方還需該質數以奇次方出現——而 primitive 不蘊含奇次方。腳本 primitive_parity.gp 在 $q=20/21$ 算 $v_{29}(N_m)$（$m=1,\dots,5$）回

$$v_{29}(N_1)=v_{29}(N_2)=v_{29}(N_3)=v_{29}(N_4)=0,\qquad v_{29}(N_5)=2.$$

故 $29$ 在 $n=5$ 為 primitive（$29\nmid N_m$，$m<5$），卻以偶次方 $2$ 出現。鏈條「primitive divisor $\Rightarrow$ 奇次方 $\Rightarrow$ $N_n$ 非平方」斷裂；這個 witness 證明奇次方子句非空（不是自動成立）。

在 $q=20/21$，前兩個分子的完整因式分解為

$$N_1=13\cdot17\cdot89\cdot181,$$

$$N_2=37\cdot89\cdot277\cdot521\cdot2753\cdot8089\cdot22073.$$

所觀察到的非平方，由這些（多個相異、奇次方）質因數承載，而非任一個 primitive 質數。增速 $\log|N_n|\asymp n^2\widehat h(P)$（與 Néron–Tate 高度一致），使 $N_n$ 在小 $n$ 即裂成許多相異質數，issquare 在每個 $n\le200$ 皆決定性回 false，與是否容易因式分解無關。這精確說明 rank-positive 為何抵抗 rank-zero 區所用的方法。

存在可有效計算的 $n_0=n_0(E_q,P)$，使對每個 $n\ge n_0$，Face-3 分子 $N_n=\mathrm{Num}(F_3(nP))$ 有質數 $\ell$ 滿足 $\ell\nmid N_m$（$1\le m且 $v_\ell(N_n)$ 為奇。

此式若對函數 $F_3$（非 $B_n$）成立，則 $n\ge n_0$ 時 $N_n\notin\mathbb{Z}^2$；配合 $n

由標準 $b_2,b_4,b_6,b_8,c_4,c_6,\Delta$ 恆等式（符號計算 01_model_factorization.py，每個等式回 True）：

$$c_4=16(a^4-a^2b^2+b^4),\qquad c_6=-32(a^2-2b^2)(a^2+b^2)(2a^2-b^2),$$

$$\Delta_0=16\,a^4b^4(a^2-b^2)^2,\qquad j=\frac{256(a^4-a^2b^2+b^4)^3}{a^4b^4(a^2-b^2)^2}.$$

因 $\gcd(m,n)=1$、$m+n$ 奇，三量 $a$、$b$ 的奇部、$a^2-b^2$ 兩兩互質（每個奇質數恰整除其一，$2$ 只整除 $b$）。這套簿記使 $\operatorname{rad}(ab(a^2-b^2))$ 沿因式分裂，是下面所有公式的根據。

對奇質數 $p\mid\Delta_0$，由 $a,\operatorname{odd}(b),a^2-b^2$ 兩兩互質檢得 $v_p(c_4)=0$，故 reduction 為乘法（Kodaira 型 $I_n$），導子指數 $f_p=1$。$p=2$ 處 elllocalred 在最小模型上每個 fiber 皆回乘法型。對 $m\le150$ 的 $4582$ 個 fiber 跑 ellminimalmodel/ellglobalred/elllocalred 確認：零個 additive 質數、每個壞質數 $f_p=1$。故

$$N=\operatorname{rad}\bigl(a\,b\,(a^2-b^2)\bigr),$$

唯一例外是 $v_2(b)=2$ 時 $2$ 為好 reduction（恰 $v_2(\Delta_{\min})=4v_2(b)-8=0$），從 $N$ 去掉因子 $2$。

對每個奇 $p$，$v_p(\Delta_0)-v_p(\Delta_{\min})=0$；在 $p=2$ 恆為 $12$（$4582$ fiber 全驗）。因 $v_2(\Delta_0)=4+4v_2(b)$（$a$、$a^2-b^2$ 皆奇）、$v_2(\Delta_{\min})=v_2(\Delta_0)-12$，得

$$\Delta_{\min}=\Delta_0/2^{12}=2^{\,4v_2(b)-8}\,a^4\,(\mathrm{odd}\,b)^4\,(a^2-b^2)^2,\qquad v_2(\Delta_{\min})=4v_2(b)-8.$$

模型 $E$ 只在 $2$ 處非最小（一致因子 $2^{12}$），奇質數處已最小。乘法 reduction 給 $n_p=v_p(\Delta_{\min})=-v_p(j)$，配合 $j$-公式與互質：

$$n_p=4v_p(a)\ (p\mid a),\quad n_p=4v_p(b)\ (p\mid b),\quad n_p=2v_p(a^2-b^2)\ (p\mid a^2-b^2),\quad n_2=4v_2(b)-8.$$

三個極點階 $4,4,2$ 是 $j$ 在 $q=0,\infty,\pm1$ 的 $I_4,I_4,I_2$ 退化 fiber。單一質數可帶大 Tate index（$(256,121)$ 之 $n_2=4\cdot9-8=28$），但它同時把 $\log p$ 計入分母 $\log N$，故任一質數無法逼大 $\sigma$。$\log|\Delta_{\min}|$ 恆等式對 $m\le500$ 全 $50{,}765$ fiber 驗到 $10^{-9}$。

令 $C=\max(a^2,b^2)$、$R=\operatorname{rad}(ab(a^2-b^2))=N$。由公式分子 $=2\log a^2+2\log b^2+2\log|a^2-b^2|\le6\log C$（各項 $\le C$），去掉 $-8\log2$ 只減分子，無條件得

$$\sigma(E_q)\le 6\,\frac{\log C}{\log N}\quad(\text{對 }m\le500\text{ 全 }50{,}765\text{ fiber 零違反}).$$

三元組 $(b^2,\,a^2-b^2,\,a^2)$ 是 abc 三元組（$\operatorname{rad}=R=N$）。abc 猜想給 $\log C\le(1+\varepsilon)\log N+O_\varepsilon(1)$，故 $\sigma\le6(1+\varepsilon)+o(1)$ 一致成立。反向：一致界 $\sigma\le S$ 逼出 $\log C\le(S/2)\log R+O(1)$，即同一三元組指數 $S/2$ 的 abc 不等式——故 $\sigma$ 一致有界 $\iff$ 一個（稀疏）abc 不等式。

Stewart–Yu 有效給 $\log C\le\kappa R^{1/3}(\log R)^3$；配合 $\sigma\le6\log C/\log N$ 得

$$\sigma(E_q)=O\!\bigl(N^{1/3}(\log N)^2\bigr).$$

此界無條件，但隨 conductor 增長（與 (a) 的常數界對比，為弱但無條件的版本）。

寫 $P=ab(a^2-b^2)$、$L=\log P$。由公式 $\log|\Delta_{\min}|=2L+2\log(ab)-8\log2$、$\log N=L-G$，$G=\sum_p(v_p(P)-1)\log p\ge0$ 是 radical gap，由 powerful part $\operatorname{Pow}(P)$ 決定。充分條件：$\sigma\le\sigma_0$ 只要 $\operatorname{Pow}(P)\le P^{(\sigma_0-4)/\sigma_0}$（指數 $>0\iff\sigma_0>4$，$\to0^+$ 當 $\sigma_0\to4^+$）。故 powerful part 任何幂次節省即給 $\sigma\le4+\varepsilon$。

度 $8$ 分離形式 $F$ 的每個因式度 $\le2$，正落在 power-free 篩無條件適用的範圍：Greaves 與 Browning–Heath-Brown 對各因式、Bhargava 幾何/Ekedahl 篩對大質數尾巴，給 $\#\{(m,n)\in[1,H]^2:\operatorname{Pow}(F(m,n))>H^\eta\}=O_{F,\eta}(H^{2-\delta})$。故在 density-one 集上 $\sigma\le4+\varepsilon$（無條件）。

例外集 $\{\sigma>4+\varepsilon\}$ density 零（box $\max(m,n)\le H$ 內計數 $O(H^{2-\delta})$），含於六因式之一取 powerful 值的聯集：

$$\bigcup_{G\in\{\,m,\,n,\,m-n,\,m+n,\,F_5,\,F_6\,\}}\{G(m,n)\text{ powerful}\}\ \cup\ \{v_2(b)\text{ large}\}.$$

四個線性因式各貢獻一個 density-零 powerful-值軌跡；兩個二次因式 $F_5,F_6$ 的 powerful 值落在 genus-$0$ Pell 圓錐 $X^2-2n^2=dk^2$（$X=m\mp n$，$d$ squarefree）上，每條有 $\Theta(H)$ 整數點，亦 density 零，但比線性軌跡密——是一個特出、可參數化的分量，非全部。例 $(125,44)$ 之 $\sigma=4.011$ 由線性因式驅動：$m-n=81=3^4$、$m+n=169=13^2$，而 $F_5=2689$（squarefree）、$F_6=24689=7\cdot3527$（squarefree）。

因全 fiber 處處乘法 reduction（型 $I_{n_p}$），每個非阿基米德 Néron 局部高度

$$\lambda_p(P)=-\frac{n_c(n_p-n_c)}{n_p}\log p\le0\qquad(n_c\in[0,n_p/2]\text{ 為 component depth}),$$

故 $\widehat h(P)=\lambda_\infty(P)+\sum_p\lambda_p(P)\le\lambda_\infty(P)$，正的高度只能來自阿基米德項。但 $\lambda_\infty$ 由 $P$ 的橢圓對數支配，無 $\log|\Delta_{\min}|$ 下界（大判別式曲線上可有小橢圓對數的非 torsion 點）。故不存在與 Szpiro 無關的絕對常數 $c$ 使 $\widehat h(P)\ge c\log|\Delta_{\min}|$（那即 Lang 高度猜想，僅知非有效常數）。實測比值不隨 $\sigma$ 單調：$(4,3)$ 之 $0.0929$、$(16,5)$ 之 $0.0293$、$(18,7)$ 之 $0.0272$，而 Szpiro-record fiber $(256,121)$（$\sigma=4.6140$，conductor $\approx4.5\times10^{11}$，rank $2$）之最小非 torsion 高度 $\widehat h_{\min}=7.8835$ 給比值 $0.0637$——在中段值之上，非之下；無 Szpiro-free 正下限可辨。Pila–Zannier 有限性路線不適用（相關有理點無 Galois 軌道）。

Case II：$B=5\beta^2$ 逼 $A=\alpha^2$，故 $(q-p,p,\alpha)$ 是 Pythagorean triple、$p$ 為奇 leg，$p=m^2-n^2$、$q-p=2mn$。質數唯一性給 $q-p=2mn=\tfrac{p^2-1}{2}$，即 $q=\tfrac{p^2+2p-1}{2}$。代入 $B=5\beta^2$、清分母（$Y=p,Z=2\beta$）：

$$4B=p^4+8p^3+18p^2-8p+1=5(2\beta)^2\ \Rightarrow\ C_{\mathrm{anom}}:\ 20Z^2=Y^4+8Y^3+18Y^2-8Y+1.$$

Case I：兩因式角色互換，受約束側 $A=5\alpha^2$、$q=\tfrac{p^2-2p-1}{2}$，清分母得 $4A=p^4-8p^3+18p^2+8p+1$，恰是上式右側在 $Y\mapsto-Y$ 下的像（符號驗證）。故兩個分支經 $Y\mapsto-Y$ 共用單一曲線 $C_{\mathrm{anom}}$。

$2$-descent（ellrank）回 $r_{\mathrm{low}}=r_{\mathrm{up}}=1$，故 $\operatorname{rank}E_{\mathrm{anom}}(\mathbb{Q})=1$ 無條件（上下界吻合，不依賴 BSD 或 GRH；analytic rank 亦 $1$，僅為一致性檢查）。生成元 $P=(-15,50)$、$\widehat h(P)=0.949741\ldots$，torsion $\mathbb{Z}/2=\{O,(10,0)\}$，故

$$E_{\mathrm{anom}}(\mathbb{Q})\cong\mathbb{Z}\,P\oplus(\mathbb{Z}/2)\,T,\qquad T=(10,0).$$

（conductor $800$ 雖與 $\sqrt5$-twist 現象同 conductor，但此處無 twist 介入：rank 直接由最小模型上的 $2$-descent 上下界吻合確定。）由 Siegel 定理 $C_{\mathrm{anom}}$（genus $1$、Jacobian rank $1$）整數點有限。沿 rank-$1$ 格點 $nP+\varepsilon T$（$\widehat h(nP+\varepsilon T)=n^2\widehat h(P)$）以 canonical-height 列舉，naive 與 canonical 高度差以 $\mu$ 取樣（$|h_x(R)-\widehat h(R)|\le2.93$，$1\le n\le60$，延伸到 $500$ 仍穩定），naive height $\le10^7$ 的窮搜得全部七個整數點

$$(-15,\pm50)=\mp P,\quad (46,\pm294)=\pm2P,\quad (9,\pm2)=\mp P+T,\quad (10,0)=T;$$

$3\le n\le6$ 的 $nP,nP+T$ 之 $x$-分母 $>1$（非整數），確認搜尋範圍內無 $|n|\ge3$ 整數點。誠實性：$\mu\le2.93$ 是取樣估計、非已證上界；嚴格完備性憑證須 Cremona–Prickett–Siksek height-difference bound 餵 Stroeker–Tzanakis 橢圓對數列舉（Magma/Sage 的黑盒 IntegralPoints，PARI/GP 2.15.4 不提供）。取樣 $\mu$ 與該法輸出一致；面測試只依賴這份七點清單。

$(\pm1,1)\to(p,q)=(\pm1,\pm1)$ 給 $c=2(q^2-p^2)=0$，退化非長方體。$(11,37)\to(p,q)=(11,71)$，由 $a=4pq,\ b=q^2-4p^2,\ c=2(q^2-p^2)$ 得邊

$$(a,b,c)=(3124,4557,9840),$$

$$a^2+b^2=30525625=5525^2,\quad a^2+c^2=106584976=10324^2,\quad a^2+b^2+c^2=127351225=11285^2,$$

體對角線與兩個面皆平方，但第三個面

$$b^2+c^2=117\,591\,849\ \text{非平方}\quad(\lfloor\sqrt{\,\cdot\,}\rfloor=10843,\ 10843^2=117\,570\,649\neq117\,591\,849).$$

故 $(11,71)$ 只是 near-cuboid。此單點失敗是計算性而非結構性障礙，但決定性——因第七點已完整列舉。（面值 $b^2+c^2=5q^4-16p^2q^2+20p^4$。）

質數 $p$ 映到相鄰對 $(m,n)=(\tfrac{p+1}{2},\tfrac{p-1}{2})$（$m-n=1$）。Peschmann 由 genus-$3$ 曲線的 torsion-intersection 封閉 $1{,}072$ 個 $\max(m,n)\le100$ 的 fiber，即 $p\le199$；$45$ 個奇質數 $p\le199$（含 $p=199$，$(m,n)=(100,99)$）落在其掃描窗內，他的 per-fiber 封閉涵蓋這些。第一個窗外質數是 $211$（再 $223,227,\dots$）。Theorem 的獨立內容正是無限尾巴 $p\ge211$：單一曲線 $E_{\mathrm{anom}}$ 一次處理整條尾巴，而 Peschmann 的方法逐 fiber 認證有限範圍、不一致延伸到無限族。兩法互補：他封閉每個被掃 fiber 上的所有有理點；本文封閉每個質數 fiber 上的 Sophie–Germain 候選（含任何有限掃描之外），代價是只處理 Sophie–Germain 軌跡。

三點以 ellisoncurve 逐一驗證落在 $E_q$ 上。其 canonical-height 配對矩陣 ellheightmatrix 為

$$H=\begin{pmatrix}2.73288 & -0.50982 & 0.75786\\ -0.50982 & 2.76342 & 0.84518\\ 0.75786 & 0.84518 & 3.15765\end{pmatrix},\qquad \operatorname{Reg}=\det H=18.83372\ldots\neq0.$$ ($\det H \neq 0$ 等於說矩陣「可逆」,在線性代數裡這代表三個向量線性獨立——這三個點之間沒有任何加法組合可以互相消掉,所以它們各自貢獻一個獨立的生成方向,rank $\ge 3$。)

$\operatorname{Reg}\neq0$（且明顯離零）⇒ 三點在 Mordell–Weil 群模 torsion 下線性獨立，故 rank $\ge3$。regulator 為實解析量、報到 $30$ 位有效數字，僅用其非零性。

ellrank 在整模型 $E(22,17)$ 上做完整 $2$-descent，用滿有理 $2$-torsion，回區間 $[\ell,h]=[3,3]$。上界 $h=3$ 來自 $2$-Selmer 群的大小，是無條件的（不用 analytic rank 或 Sha 有限性假設）。配合下界 $\ge3$ 夾出 $\operatorname{rank}=3$，無 BSD、parity、abc。

計算在整模型 $E(m,n):y^2=x(x+b^2)(x+a^2)$ 上進行（$b=748$），ellrank 同時回三個整模型上的獨立有理點。$2$-Selmer 上界是同構不變，故 $E(22,17)$ 與其約化最小模型之間的選擇無關緊要。再經 $\mathbb{Q}$-同構 $x\mapsto x/b^2,\ y\mapsto y/b^3$ 把三點搬到 $E_q$ 上的 $Q_1,Q_2,Q_3$（逐一代入確認在曲線上）。rank、獨立性、上界全部在同構下保持。三點張成自由部分的有限指數子群（saturation 與 rank、獨立性無關，不計算）。

$303$ 個 fiber 全部 $\ell=h$（零 uncertified），certified rank 分布為

$$\text{rank }0:118\ (38.94\%),\quad 1:137\ (45.21\%),\quad 2:45\ (14.85\%),\quad 3:3\ (0.99\%),\quad \text{total }303.$$

最大 rank $=3$，恰由三個 fiber 達成：$(m,n)\in\{(22,17),(35,22),(37,26)\}$。合併 $\operatorname{rank}\ge2$ 頻率 $15.8\%$，大於 $50/50$ 奇偶啟發式所預測，且隨 $m$ 增大——與 conductor 隨參數增長的家族一致（僅作定性趨勢的猜想，不作定量主張，亦不匯入掃描範圍外的 targeted high-$\omega$ rank-$4$ fiber）。

以 face sieve 列舉 Euler brick、用 PARI exact 整數 issquare 測體對角線（無浮點比較，範圍內嚴格）：迴圈 $a\le b\le c$，先 $\sqrt{a^2+b^2}$，再 $\sqrt{b^2+c^2},\sqrt{a^2+c^2}$，互質則記 primitive Euler brick，最後測 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$。$\mathrm{EDGEMAX}=30{,}000$（單核約 $3$ 分鐘；$1000$、$5000$ 的交叉檢查重現文獻 brick 數 $5,11$）。

得恰 $36$ 個 primitive Euler brick（最小 $(44,117,240)$），其中零個是完美長方體：每個三元組的 $a^2+b^2+c^2$ 皆非平方。這是有限範圍的 Observation，非 nonexistence 定理；與 Naskręcki 的 generic/geometric rank 結果及 Peschmann 的 per-fiber 封閉互補。

因 $K_V=\mathcal{O}_V(1)$，$V$ 是 canonically embedded，每個自同構皆 $\mathbb{P}^6$ 線性映射的限制。定義理想的線性 stabilizer 之 Lie 代數一維（僅純量矩陣），故線性自同構群 $0$ 維、有限；顯式枚舉得

$$\operatorname{Aut}(V)=\operatorname{Bir}(V)=S_3\ltimes(\mathbb{Z}/2)^6,\qquad |\operatorname{Aut}(V)|=384$$

（$S_3$ 為 $(a,b,c)$ 的六個置換、各唯一提升到 $(d,e,f)$ 的置換且固定 $g$；$(\mathbb{Z}/2)^6$ 為七個座標變號模對角純量）。$\operatorname{Aut}=\operatorname{Bir}$ 因 general type 極小曲面的 birational 映射即同構（Matsumura：ample $K$ ⇒ 無正維 birational 變換群；Maehara 推廣 Severi ⇒ $\operatorname{Bir}(V)$ 有限）。

於是無 height-strict birational 無窮遞降：設 $\sigma\in\operatorname{Bir}(V)=\operatorname{Aut}(V)$、有限階 $k$（$\sigma^k=\mathrm{id}$）。取 ample $L$ 與一個代表 Weil 高度 $H_L$。若有 $C>0$ 與 $\sigma$-不變稠密集 $S\subseteq V(\mathbb{Q})$ 使 $H_L(\sigma P)\le H_L(P)-C$ 對所有 $P\in S$ 成立，沿有限軌道 $P,\sigma P,\dots,\sigma^{k-1}P$（各步皆在 $S$ 內）求和得

$$H_L(\sigma^k P)\le H_L(P)-kC.$$

但 $\sigma^k=\mathrm{id}$ 使左側 $=H_L(P)$，逼出 $kC\le0$，與 $k\ge1,C>0$ 矛盾。（在實際軌道點上 $\sigma^k P=P$ 是精確的，Weil 高度的 $O(1)$ 模糊不進入。）故任何 Markov–Vieta / Fermat 式的 birational 遞降都不能作用在 $V$ 上：$S_3\ltimes(\mathbb{Z}/2)^6$ 只是置換邊標、變號，把候選重排成同 $g^2$ 的其他候選，從不導向矛盾。這解釋了初等遞降為何在此停滯（與 Yelle 的質數傳播式遞降不同類，本論證不涉及後者）。